Let $ x=ae^{is},y=be^{it} $ $ P^{2}=\left|\frac{x+y}{1+x\overline{y}}\right|^{2}=\frac{(a^{is}+be^{it})(ae^{-is}+be^{-it})}{(1+abe^{i(s-t)})(1+abe^{i(t-s)})} $ $ =\frac{a^{2}+b^{2}+ab(e^{i(s-t)}+e^{i(t-s)})}{1+a^{2}b^{2}+ab(e^{i(s-t)}+e^{i(t-s)})} $ Let $ e^{i(s-t)}+e^{i(t-s)}=2cos(s-t)=u ,u\in{[-2,2]} $, so $ P^{2}=f(u)=\frac{a^{2}+b^{2}+abu}{1+a^{2}b^{2}+abu}=1-\frac{(a^{2}-1)(b^{2}-1)}{1+a^{2}b^{2}+abu} $ 1)If $ (a^{2}-1)(b^{2}-1)>0 $ ,then $ P_{max}=\frac{a+b}{1+ab} $; 2)If $ (a^{2}-1)(b^{2}-1)<0 $,then $ P_{max}=\frac{|a-b|}{|1-ab|} $; 3)If $ (a^{2}-1)(b^{2}-1)=0 $,then $ P=1 $.