Hint1Prove that triangles $\triangle ACE$ and $\triangle BDF$ have the same circunradius. Hint2Let $O_1, O_2$ be the cricumcenters of $\triangle ACE$ and $\triangle BDF$, respectively, and let $O$ be the midpoint of $O_1O_2$. Prove that $O$ is the circumcenter of $A_2B_2C_2D_2E_2F_2$. SolutionWe'll begin by proving that triangles $\triangle ACE$ and $\triangle BDF$ have the same circunradius. To do so, let $O_1, O_2$ and $R_1,R_2$ be the circumcenters and circucircumradius of $\triangle ACE$ and $\triangle BDF$, respectively, and let $r$ be the side length of the given dodecagon (that is, $r=A_2A_1=A_1B_2= \cdots = F_1A_2$). Consider a point $Q$ such that $\angle QA_2A_1 = \angle C_1C_2B_1$, $A_2Q=A_2A_1=r$, and $Q$ and $A_2$ lie on the same side of $A_1F_1$. From the condition $\angle A_1A_2F_1+\angle C_1C_2B_1 + \angle E_1E_2D_1 = 360$, it follows that \[ \angle QA_2F_1= \angle E_1E_2D_1. \]Notice also that, since $A_2Q=A_2A_1=A_2F_1=r$, then $\triangle A_1F_1Q$ has circumradius $r$ and circumcenter $A_2$. Also, using $SAS$, \[ \triangle QA_2A_1 \cong \triangle C_1C_2B_1, \triangle QA_2F_1 \cong \triangle D_1E_2E_1. \]Hence, $QA_1=C_1B_1$ and $QF=D_1E_1$. However, we see from the midpoint condition that \[ A_1F_1=\frac{BF}{2}, B_1C_1=\frac{BD}{2}, D_1E_1 = \frac{DF}{2}. \]Therefore, \[ A_1F_1=\frac{BF}{2}, A_1Q=\frac{BD}{2}, QF_1 = \frac{DF}{2}. \]Using $SSS$, we get that $\triangle A_1F_1Q \sim \triangle BFD$ with ratio 1:2. Nevertheless, we know that $r$ and $R_2$ are the circumradius of $\triangle A_1F_1Q$ and $\triangle BFD$ respectively. Whence, \[ r = \frac{R_2}{2}. \]Similarly, \[ r = \frac{R_1}{2}, \]implying that $R_1 = R_2 = R = 2r$. On the other hand, we see that $A_1F_1 || BF$, $BF = 2A_1F_1$, and that $\triangle A_1A_2F_1$ and $\triangle BO_2F$ are similar isosceles triangles. Therefore, triangles $\triangle A_1A_2F_1$ and $\triangle BO_2F$ are homothetic with ratio 1:2 and homothety center $A$. In consequence, $A, A_2, O_2$ are collinear and $A_2$ is the midpoint of $AO_2$. This argument works in a similar way with $B_2, C_2, D_2, E_2, F_2$. Finally, let $O$ be the midpoint of $O_1O_2$. We will now prove that $O$ is the circumcenter of $A_2B_2C_2D_2E_2F_2$. To do so, we see that since $O$ is the midpoint of $O_1O_2$ and $C_2$ is the midpoint of $O_2C$, then \[ OC_2 = \frac{O_1C}{2} = \frac{R}{2} = r. \]Analogously for the other five points, we conclude that $A_2B_2C_2D_2E_2F_2$ has circumcenter $O$ and circumradius $r$.

Hint1Demuestra que los triángulos $\triangle ACE$ y $\triangle BDF$ tienen el mismo circunradio. Hint2Sean $O_1, O_2$ los circuncentros de $\triangle ACE$ y $\triangle BDF$, respectivamente, y sea $O$ el punto medio de $O_1O_2$. Demuestra que $O$ es el circuncentro de $A_2B_2C_2D_2E_2F_2$. SoluciónComenzaremos por demostrar que los triángulos $\triangle ACE$ y $\triangle BDF$ tienen el mismo circunradio. Para ello, sean $O_1, O_2$ y $R_1,R_2$ los circuncentros y circunradios de $\triangle ACE$ y $\triangle BDF$, respectivamente, y sea $r$ la longitud de los lados del dodecágono dado (esto es, $r=A_2A_1=A_1B_2= \cdots = F_1A_2$). Considera un punto $Q$ tal que $\angle QA_2A_1 = \angle C_1C_2B_1$, $A_2Q=A_2A_1=r$, y $Q$ y $A_2$ están en el mismo lado de $A_1F_1$. De la condición $\angle A_1A_2F_1+\angle C_1C_2B_1 + \angle E_1E_2D_1 = 360$, se sigue que \[ \angle QA_2F_1= \angle E_1E_2D_1. \]Notemos también que, ya que $A_2Q=A_2A_1=A_2F_1=r$, entonces $\triangle A_1F_1Q$ tiene circunradio $r$ y circuncentro $A_2$. Además, por $LAL$, \[ \triangle QA_2A_1 \cong \triangle C_1C_2B_1, \triangle QA_2F_1 \cong \triangle D_1E_2E_1. \]En consecuencia, $QA_1=C_1B_1$ y $QF=D_1E_1$. No obstante, observamos de la condición de ser puntos medios que \[ A_1F_1=\frac{BF}{2}, B_1C_1=\frac{BD}{2}, D_1E_1 = \frac{DF}{2}. \]Por tanto, \[ A_1F_1=\frac{BF}{2}, A_1Q=\frac{BD}{2}, QF_1 = \frac{DF}{2}. \]Usando $LLL$, obtenemos que $\triangle A_1F_1Q \sim \triangle BFD$ con razón 1:2. No obstante, sabemos que $r$ y $R_2$ son los circunradios de $\triangle A_1F_1Q$ y $\triangle BFD$ respectivamente. Luego, \[ r = \frac{R_2}{2}. \]Similarmente, \[ r = \frac{R_1}{2}, \]implicando que $R_1 = R_2 = R = 2r$. Por otro lado, vemos que $A_1F_1 || BF$, $BF = 2A_1F_1$, y que $\triangle A_1A_2F_1$ y $\triangle BO_2F$ son triángulos isósceles semejantes. Por ende, los triángulos $\triangle A_1A_2F_1$ y $\triangle BO_2F$ son homotéticos con razón 1:2 y centro de homotecia $A$. En consecuencia, $A, A_2, O_2$ son colineales y $A_2$ es el punto medio de $AO_2$. Este argumento funciona de manera similar para $B_2, C_2, D_2, E_2, F_2$. Finalmente, sea $O$ el punto medio de $O_1O_2$. Procederemos a demostrar que $O$ es el circuncentro de $A_2B_2C_2D_2E_2F_2$. Para ello, observamos que al ser $O$ el punto medio de $O_1O_2$ y $C_2$ el punto medio de $O_2C$, entonces \[ OC_2 = \frac{O_1C}{2} = \frac{R}{2} = r. \]Análogamente para los otros cinco puntos, concluimos que $A_2B_2C_2D_2E_2F_2$ tiene circuncentro $O$ y circunradio $r$.