$x_i-x_i^2=x_1+...+x_n$ for all $i$ And so $x_i$ can take only two values $a,b$ with $a^2-a=b^2-b \to a+b=1$ Let there are $k<n$ values $a$ among $x_1,...,x_n$ So $a-a^2=ka+(n-k)(1-a)$ or $a^2+a(2k-n-1)+n-k=0$ We should have $(2k-n-1)-4(n-k)=(2k-n)^2-(2n-1)$ as square If $2n-1=p$ is prime that it means $p=2n-1=2(2k-n) \pm 1 \to n=k$ or $4n=4k-2$ but both variants are contradiction So $2n-1$ can not be prime Let $2n-1$ is not prime and $2n-1= (2m-1)(2r-1)$ where $m,r>1$ Take $x_1=x_2=...=x_{mr}=1-m$ and $x_{mr+1}=...=x_n=m$ Then $x_i-x_i^2=m-m^2$ and $x_1+...+x_n=mr(1-m)+ (m-1)(r-1)m=m-m^2$ so $x_i-x_i^2=x_1+...+x_n$ for all $i$

Uma ideia seria assumir que 2n-1 = P, sendo P um número primo e, consequentemente, p > 1. Daí concluímos que n = (P+1)/2. Ao somarmos as equações encontraríamos: (n-1)(x1+x2+...+xn) + (x1^2+x2^2+...+xn^2) = 0. Daí tiramos: (n-1) = - (x1^2+x2^2+...+xn^2)/(x1+x2+...+xn). Dessa forma, se n-1 ressulta em um número negativo, n-1 < 0. Substituindo: (P+1)/2 - 1 < 0 (P+1)/2 < 1 P+1 < 2 P < 1, O que é um absurdo já que assumimos que P é primo e, consequentemente, P > 1. Por favor me corrijam se eu estiver errado

Aqui está errado: "Dessa forma, se n-1 ressulta em um número negativo" porque $x_1, x_2, \ldots , x_n$ são números inteiros.