Solução: Pelo enunciado, marcamos os ângulos na figura 1. Por I incentro, temos no triângulo ABC, os ângulos ∠A = 2α, ∠B = 90° - 2α e ∠C = 90°. Note na figura 2 que ∠FBI = ∠EBI = 45° - α. No ∆ABC, marcamos o ângulo ∠CID = 90° - α = θ. Logo, DICE é um quadrilátero cíclico. Consequentemente, ∠IDE = ∠DEI = 45° ∴ DI = EI. O ângulo ∠EID = 90°, pois é a soma dos ângulos 90° - α e α. Na figura 3, observe que ∆BFE tem uma bissetriz que também é altura. Portanto, FI = EI = DI. Como ∆FID é retângulo e isósceles, tem-se ∠IDF = ∠IFD = 45°. Finalmente, olhando para o ângulo β na figura, tem-se β + 90° + α = 180°, ou seja, β = 90 – α = θ. Logo, ∆ADH é retângulo, pois α + θ = 90°.

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figura 3

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Observe that $\angle AIB=135^\circ$, so\begin{align*}\angle IDE & =\angle DIA \\ & =45^\circ \\ & =\angle ICE. \end{align*}Hence $CDIE$ is cyclic, so $\angle EID=90^\circ$ and $\angle DEI=45^\circ$. This gives $ID=IE$ and $BIE\equiv BIF$, so $IE=IF$. From $\angle DIA=45^\circ$ and $\angle DIF=90^\circ$ we get $\angle AIF=45^\circ$, so $AID\equiv AIF$. Hence $DF\perp AI$, as desired.

Since $\angle DEC = 90^{\circ} - \angle EDC = 90^{\circ} - \frac{\angle BAC}{2} = \angle DIC$, we have that $CDIE$ is cyclic. It follows that $EF \perp BI$. It is then clear by SAS that $\Delta IDE \cong \Delta IDF$. $\angle DIA = 90^{\circ} - \frac{\angle ACB}{2} = 45^{\circ}$, $\angle FDI = \angle EDI = \angle BCI = 45^{\circ}$. It follows that $DF \perp AI$.