In a classroom there are $20$ rows of $22$ desks each $(22$ desks have noone in front of them). The $440$ contestants of a certain regional math contest are going to sit at the desks. Before the exam, the organizers left some amount of sweets on each desk, which amount can be any positive integer. When the students go into the room, just before sitting down they look at the desk behind them, the one on the left and the one diagonally opposite to the right of theirs, thus seeing how many sweets each one has; if there is no desk in any of these directions, they simply ignore that position. Then they sit and watch their own sweets. A student gets angry if any of the desks he saw has more than one candy more than his. The organizers managed to distribute the sweets in such a way that no student gets angry. Prove that there are $8$ students with the same amount of sweets.
Problem
Source: 2022 Mathematics Regional Olympiad of Mexico West P2
Tags: combinatorics
hendrata01
07.10.2022 00:03
Could you clarify this part: just before sitting down they look at the desk behind them, the one on the left and the one diagonally opposite to the right of theirs Assuming the class faces North, I understand it as West = Left, South = Behind, and not sure about "one diagonally opposite to the right of theirs". Is this North East or North West?
parmenides51
07.10.2022 07:34
En un salón de clases hay 20 filas de 22 pupitres cada una (22 pupitres no tienen a nadie enfrente). Los 440 participantes de cierto concurso regional de matemáticas van a sentarse en los pupitres. Antes del examen los organizadores dejaron alguna cantidad de dulces en cada pupitre, cantidad que puede ser cualquier número entero positivo. Cuando los alumnos pasan al salón, justo antes de sentarse observan el pupitre de atrás, el de la izquierda y el que está en diagonal enfrente a la derecha del suyo, viendo así cuántos dulces tiene cada uno; si en alguna de estas direcciones no hay pupitre simplemente ignoran esa posición. Después se sientan y ven sus propios dulces.
Un alumno se enoja si alguno de los pupitres que vio tiene más de un dulce más que el suyo. Los organizadores lograron repartir los dulces de modo que ningún alumno se enoje. Demuestra que hay 8 alumnos con la misma cantidad de dulces.
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