Mr. Ganzgenau would like to take his tea mug out of the microwave right at the front. But Mr. Ganzgenau's microwave doesn't really want to be very precise play along. To be precise, the two of them play the following game: Let $n$ be a positive integer. The turntable of the microwave makes one in $n$ seconds full turn. Each time the microwave is switched on, an integer number of seconds turned either clockwise or counterclockwise so that there are n possible positions in which the tea mug can remain. One of these positions is right up front. At the beginning, the microwave turns the tea mug to one of the $n$ possible positions. After that Mr. Ganzgenau enters an integer number of seconds in each move, and the microwave decides either clockwise or counterclockwise this number of spin for seconds. For which $n$ can Mr. Ganzgenau force the tea cup after a finite number of puffs to be able to take it out of the microwave right up front? (Birgit Vera Schmidt)
HIDE: original wording, in case it doesn't make much sense Herr Ganzgenau möchte sein Teehäferl ganz genau vorne aus der Mikrowelle herausnehmen. Die Mikrowelle von Herrn Ganzgenau möchte da aber so ganz genau gar nicht mitspielen. Ganz genau gesagt spielen die beiden das folgende Spiel: Sei n eine positive ganze Zahl. In n Sekunden macht der Drehteller der Mikrowelle eine vollständige Umdrehung. Bei jedem Einschalten der Mikrowelle wird eine ganzzahlige Anzahl von Sekunden entweder im oder gegen den Uhrzeigersinn gedreht, sodass es n mögliche Positionen gibt, auf denen das Teehäferl stehen bleiben kann. Eine dieser Positionen ist ganz genau vorne. Zu Beginn dreht die Mikrowelle das Teehäferl auf eine der n möglichen Positionen. Danach gibt Herr Ganzgenau in jedem Zug eine ganzzahlige Anzahl von Sekunden ein, und die Mikrowelle entscheidet, entweder im oder gegen den Uhrzeigersinn diese Anzahl von Sekunden lang zu drehen. Für welche n kann Herr Ganzgenau erzwingen, das Teehäferl nach endlich vielen Zügen ganz genau vorne aus der Mikrowelle nehmen zu können? (Birgit Vera Schmidt)Problem
Source: 2021 Austrian Federal Competition For Advanced Students, Part 2, p2
Tags: combinatorics, game, game strategy
Snark_Graphique
07.06.2021 08:42
Mr. Ganzgenau wins if and only if $n$ is a power of $2$.
This problem is quite similar to Singapore Open MO 2019/3.
Label the possible configurations of the mug's handle, interpreted as evenly spaced points on the circle, by $0, 1, \dotsc, n-1$. Suppose Mr. Ganzgenau wants to take the mug out at position $0$.
Let $n=2^k\cdot m$ where $m$ is an odd positive integer and $k$ is an non-negative integer. Then, color the points in the following manner: start by coloring point with label $0$ in red, then color every $m$-th point in red. Then, the midpoint of any arc ending in red points is also red if it is in the configuration. Thus, for every labelled points $P, Q, R$ with $P$ blue and $PQ=PR$, then at least one of $Q$ and $R$ is blue.
If $m \ne 1$, then at least one of the labelled points is blue. Microwave's strategy is now simple. Put the handle on a blue point at the first turn. Then, keep picking blue points for whatever number Mr. Ganzgenau gives. This is always possible due to the property discussed above.
If $m = 1$, Mr. Ganzgenau's strategy is as follows easily by induction, by moving the handle to the nearest red point, and then removing the "abundant" red points after each move.