Call arrangement of $m$ number on the circle $m$-negative, if all numbers are equal to $-1$. On the first step Andrew chooses one number on circle and multiplies it by $-1$. All other steps are similar: instead of the next number(clockwise) he writes its product with the number, written on the previous step. Prove that if $n$-negative arrangement in $k$ steps becomes $n$-negative again, then $(2^n - 1)$-negative after $(2^k - 1)$ steps becomes $(2^n - 1)$-negative again.
Problem
Source: Ukraine TST 2012 p8
Tags: combinatorics
02.03.2021 19:23
The problem seems obscure, and I guess it's (an equivalent form of) this problem. Can anyone recheck the translation or the original statement?
02.03.2021 20:35
This is the exact wording wrote: Розташ ування по колу $m\ge 3$ чисел -1 назвемо m - від ’емним (інших чисел на колі немае). Н а першому кроці відмінник Андрійко вибирае одне з чисел на колі та множ ить його на -1 . Д алі на кож ному кроці він замість наступного за годинниковою стрілкою числа на колі записуе його добуток з числом, записаним на попередньому кроці. Д оведіть, що коли n л k деякого n за k кроків n -від’емне розташ ування перетворюеться у себе, то за 2^к -1 кроків (2^n -1)-від’емне розташ ування також перетворю еться у себе. PS. I asked someone from ukraine to have a look at it, as I use google translate
Attachments:

03.03.2021 10:54
3rd sentence has been written in a better way, I hope it makes more sense now
17.10.2021 18:07
Bump... Any solution? (Maybe without polynomials?)