$x^2+y^2=x^3+ax^2+a^2x=y^3+ay^2+a^2y$ $0=x^3+ax^2+a^2x-(y^3+ay^2+a^2y)=(x-y)(x^2+xy+y^2+ax+ay+a^2) \to x=y$ $x^3+(a-2)x^2+a^2x=0$ $x=0,y=0$ -solution or $x^2+(a-2)x+a^2=0$ $D=-3a^2-4a+4, D \geq 0 \to -2 \leq a \leq \frac{2}{3}$ If $a \in (-2, \frac{2}{3}) ,y=x=\frac{2-a \pm \sqrt{-3a^2-4a+4}}{2}$ or $x=y=0$ If $a=-2, y=x= 2$ or $x=y=0$ If $a=\frac{2}{3}, y=x = -\frac{2}{3}$ or $x=y=0$ If $ a \notin (-2, \frac{2}{3}); x=y=0$