$ k^2=10000 n + 9009$ for $ k,n \in \mathbb N$ Taking mod $ 10$ $ k^2\equiv 9 (10)$ then $ k\equiv 3(10)$ or $ k\equiv 7(10)$ $ k=10m+r$ with $ r \in \{3,7\}$ Taking mod $ 100$ $ k^2\equiv 9 (100)$ $ (10m+3)^2 \equiv 9(100)$ then $ 60m \equiv 0 (100)$ then $ m\equiv 0 (5)$ $ (10m+7)^2 \equiv 9(100)$ then $ 140m+40 \equiv 0 (100)$ then $ m\equiv 4 (5)$ $ k=100o+r$ with $ r \in \{3,53,47,97\}$ Taking mod $ 10000$ $ k^2\equiv 9009 (10000)$ $ (100o+3)^2 \equiv 9009(10000)$ $ 600o \equiv 9000 (10000)$ $ 3o \equiv 45 (50)$ $ o \equiv 15 (50)$ $ (100o+53)^2 \equiv 9009(10000)$ $ 600o+2809 \equiv 9009 (10000)$ $ 600o \equiv 6200 (10000)$ $ 3o \equiv 31 (50)$ $ o \equiv 27 (50)$ $ (100o+47)^2 \equiv 9009(10000)$ $ 9400o+2209 \equiv 9009 (10000)$ $ 9400o \equiv 6800 (10000)$ $ 47o \equiv 34 (50)$ $ o \equiv 22 (50)$ $ (100o+97)^2 \equiv 9009(10000)$ $ 9400o+9409 \equiv 9009 (10000)$ $ 9400o+400 \equiv 0 (10000)$ $ 47o+2 \equiv 0 (50)$ $ o \equiv 34 (50)$ then minimum $ k=1503$