$ d=\gcd(x,y)$
$ x=da,y=db$ where $ \gcd(a,b)=1$
$ a^n+b^n=d(a-b)^n$
So $ a-b|a^n+b^n$ so $ a-b|2a^n$ but $ \gcd(a-b,a^n)=1$ so $ a-b|2$
Case 1$ a-b=1$
$ d=(a+1)^n+a^n$
So the solution is :
$ (x,y)=((a+1)^n+a^n)a,((a+1)^n+a^n)(a-1))$
Case 2 $ a-b=2$
$ a^n+b^n=2^{n+1}d$
$ d=\frac{a^n+b^n}{2^{n+1}}$
Easy check that $ n\equiv 1(\mod 2)$
$ v_{2}(a^n+b^n)=v_{2}(a+b)$
Suppose $ a+b=2^kp$ then $ k\geq n+1$
The solution is $ d=\frac{a^n+b^n}{2^{n+1}}$
$ (x,y)=(da,d(a-2))$
Case 3 $ a-b=-1$
$ d=\frac{a^n+b^n}{(-1)^{n+1}}$
$ (x,y)=(da,d(a+1))$ where d satisfy above condition.
Case 4$ a-b=-2$
$ d=\frac{a^n+b^n}{(-2)^{n+1}}\in N$ and
$ (x,y)=(da,d(a+2))$